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FEATool Multiphysics
v1.17.1
Finite Element Analysis Toolbox
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SF_TRI_P4 Fourth order Lagrange shape functions for triangles (P4).
[ VBASE, NLDOF, XLDOF, SFUN ] = SF_TRI_P4( I_EVAL, N_SDIM, N_VERT, I_DOF, XI, AINVJAC, VBASE ) Evaluates conforming fourth order P4 Lagrange shape functions on 2D triangular elements with values defined in the nodes, edges, and center. XI are Barycentric coordinates.
Input Value/[Size] Description
-----------------------------------------------------------------------------------
i_eval scalar: 1 Evaluate function values
>1 Evaluate values of derivatives
n_sdim scalar: 2 Number of space dimensions
n_vert scalar: 3 Number of vertices per cell
i_dof scalar: 1-15 Local basis function to evaluate
xi array [3,1] Local coordinates of evaluation point
aInvJac [n,6] Inverse of transformation Jacobian
vBase [n] Preallocated output vector
.
Output Value/[Size] Description
-----------------------------------------------------------------------------------
vBase [n] Evaluated function values
nLDof [4] Number of local degrees of freedom on
vertices, edges, faces, and cell interiors
xLDof [3,n_ldof] Local coordinates of local dofs
sfun string Function name of called shape function
nLDof = [3 9 0 3];
xLDof = [1 0 0 3/4 0 1/4 1/2 0 1/2 1/4 0 3/4 1/2 1/4 1/4;
0 1 0 1/4 3/4 0 1/2 1/2 0 3/4 1/4 0 1/4 1/2 1/4;
0 0 1 0 1/4 3/4 0 1/2 1/2 0 3/4 1/4 1/4 1/4 1/2];
sfun = 'sf_tri_P4';
switch i_eval
case 1
switch i_dof
case 1
vBase = (xi(1)*(2*xi(1) - 1)*(4*xi(1) - 1)*(4*xi(1) - 3))/3;
case 2
vBase = (xi(2)*(2*xi(2) - 1)*(4*xi(2) - 1)*(4*xi(2) - 3))/3;
case 3
vBase = (xi(3)*(2*xi(3) - 1)*(4*xi(3) - 1)*(4*xi(3) - 3))/3;
case 4
vBase = (16*xi(1)*xi(2)*(2*xi(1) - 1)*(4*xi(1) - 1))/3;
case 5
vBase = (16*xi(2)*xi(3)*(2*xi(2) - 1)*(4*xi(2) - 1))/3;
case 6
vBase = (16*xi(1)*xi(3)*(2*xi(3) - 1)*(4*xi(3) - 1))/3;
case 7
vBase = 4*xi(1)*xi(2)*(4*xi(1) - 1)*(4*xi(2) - 1);
case 8
vBase = 4*xi(2)*xi(3)*(4*xi(2) - 1)*(4*xi(3) - 1);
case 9
vBase = 4*xi(1)*xi(3)*(4*xi(1) - 1)*(4*xi(3) - 1);
case 10
vBase = (16*xi(1)*xi(2)*(2*xi(2) - 1)*(4*xi(2) - 1))/3;
case 11
vBase = (16*xi(2)*xi(3)*(2*xi(3) - 1)*(4*xi(3) - 1))/3;
case 12
vBase = (16*xi(1)*xi(3)*(2*xi(1) - 1)*(4*xi(1) - 1))/3;
case 13
vBase = 32*xi(1)*xi(2)*xi(3)*(4*xi(1) - 1);
case 14
vBase = 32*xi(1)*xi(2)*xi(3)*(4*xi(2) - 1);
case 15
vBase = 32*xi(1)*xi(2)*xi(3)*(4*xi(3) - 1);
end
case {2,3}
switch i_dof
case 1
dNdxi1 = ((8*xi(1) - 3)*(16*xi(1)^2 - 12*xi(1) + 1))/3;
dNdxi2 = 0;
dNdxi3 = 0;
case 2
dNdxi1 = 0;
dNdxi2 = ((8*xi(2) - 3)*(16*xi(2)^2 - 12*xi(2) + 1))/3;
dNdxi3 = 0;
case 3
dNdxi1 = 0;
dNdxi2 = 0;
dNdxi3 = ((8*xi(3) - 3)*(16*xi(3)^2 - 12*xi(3) + 1))/3;
case 4
dNdxi1 = (16*xi(2)*(24*xi(1)^2 - 12*xi(1) + 1))/3;
dNdxi2 = (16*xi(1)*(2*xi(1) - 1)*(4*xi(1) - 1))/3;
dNdxi3 = 0;
case 5
dNdxi1 = 0;
dNdxi2 = (16*xi(3)*(24*xi(2)^2 - 12*xi(2) + 1))/3;
dNdxi3 = (16*xi(2)*(2*xi(2) - 1)*(4*xi(2) - 1))/3;
case 6
dNdxi1 = (16*xi(3)*(2*xi(3) - 1)*(4*xi(3) - 1))/3;
dNdxi2 = 0;
dNdxi3 = (16*xi(1)*(24*xi(3)^2 - 12*xi(3) + 1))/3;
case 7
dNdxi1 = 4*xi(2)*(8*xi(1) - 1)*(4*xi(2) - 1);
dNdxi2 = 4*xi(1)*(4*xi(1) - 1)*(8*xi(2) - 1);
dNdxi3 = 0;
case 8
dNdxi1 = 0;
dNdxi2 = 4*xi(3)*(8*xi(2) - 1)*(4*xi(3) - 1);
dNdxi3 = 4*xi(2)*(4*xi(2) - 1)*(8*xi(3) - 1);
case 9
dNdxi1 = 4*xi(3)*(8*xi(1) - 1)*(4*xi(3) - 1);
dNdxi2 = 0;
dNdxi3 = 4*xi(1)*(4*xi(1) - 1)*(8*xi(3) - 1);
case 10
dNdxi1 = (16*xi(2)*(2*xi(2) - 1)*(4*xi(2) - 1))/3;
dNdxi2 = (16*xi(1)*(24*xi(2)^2 - 12*xi(2) + 1))/3;
dNdxi3 = 0;
case 11
dNdxi1 = 0;
dNdxi2 = (16*xi(3)*(2*xi(3) - 1)*(4*xi(3) - 1))/3;
dNdxi3 = (16*xi(2)*(24*xi(3)^2 - 12*xi(3) + 1))/3;
case 12
dNdxi1 = (16*xi(3)*(24*xi(1)^2 - 12*xi(1) + 1))/3;
dNdxi2 = 0;
dNdxi3 = (16*xi(1)*(2*xi(1) - 1)*(4*xi(1) - 1))/3;
case 13
dNdxi1 = 32*xi(2)*xi(3)*(8*xi(1) - 1);
dNdxi2 = 32*xi(1)*xi(3)*(4*xi(1) - 1);
dNdxi3 = 32*xi(1)*xi(2)*(4*xi(1) - 1);
case 14
dNdxi1 = 32*xi(2)*xi(3)*(4*xi(2) - 1);
dNdxi2 = 32*xi(1)*xi(3)*(8*xi(2) - 1);
dNdxi3 = 32*xi(1)*xi(2)*(4*xi(2) - 1);
case 15
dNdxi1 = 32*xi(2)*xi(3)*(4*xi(3) - 1);
dNdxi2 = 32*xi(1)*xi(3)*(4*xi(3) - 1);
dNdxi3 = 32*xi(1)*xi(2)*(8*xi(3) - 1);
end
if( i_eval==2 )
vBase = aInvJac(:,1).*dNdxi1 + aInvJac(:,2).*dNdxi2 + aInvJac(:,3).*dNdxi3;
else
vBase = aInvJac(:,4).*dNdxi1 + aInvJac(:,5).*dNdxi2 + aInvJac(:,6).*dNdxi3;
end
case {22,23,32,33} % Evaluation of second derivatives.
switch i_dof
case 1
d2Ndxi1dxi1 = 128*xi(1)^2 - 96*xi(1) + 44/3;
d2Ndxi2dxi1 = 0;
d2Ndxi3dxi1 = 0;
d2Ndxi1dxi2 = 0;
d2Ndxi2dxi2 = 0;
d2Ndxi3dxi2 = 0;
d2Ndxi1dxi3 = 0;
d2Ndxi2dxi3 = 0;
d2Ndxi3dxi3 = 0;
case 2
d2Ndxi1dxi1 = 0;
d2Ndxi2dxi1 = 0;
d2Ndxi3dxi1 = 0;
d2Ndxi1dxi2 = 0;
d2Ndxi2dxi2 = 128*xi(2)^2 - 96*xi(2) + 44/3;
d2Ndxi3dxi2 = 0;
d2Ndxi1dxi3 = 0;
d2Ndxi2dxi3 = 0;
d2Ndxi3dxi3 = 0;
case 3
d2Ndxi1dxi1 = 0;
d2Ndxi2dxi1 = 0;
d2Ndxi3dxi1 = 0;
d2Ndxi1dxi2 = 0;
d2Ndxi2dxi2 = 0;
d2Ndxi3dxi2 = 0;
d2Ndxi1dxi3 = 0;
d2Ndxi2dxi3 = 0;
d2Ndxi3dxi3 = 128*xi(3)^2 - 96*xi(3) + 44/3;
case 4
d2Ndxi1dxi1 = 64*xi(2)*(4*xi(1) - 1);
d2Ndxi2dxi1 = 128*xi(1)^2 - 64*xi(1) + 16/3;
d2Ndxi3dxi1 = 0;
d2Ndxi1dxi2 = 128*xi(1)^2 - 64*xi(1) + 16/3;
d2Ndxi2dxi2 = 0;
d2Ndxi3dxi2 = 0;
d2Ndxi1dxi3 = 0;
d2Ndxi2dxi3 = 0;
d2Ndxi3dxi3 = 0;
case 5
d2Ndxi1dxi1 = 0;
d2Ndxi2dxi1 = 0;
d2Ndxi3dxi1 = 0;
d2Ndxi1dxi2 = 0;
d2Ndxi2dxi2 = 64*xi(3)*(4*xi(2) - 1);
d2Ndxi3dxi2 = 128*xi(2)^2 - 64*xi(2) + 16/3;
d2Ndxi1dxi3 = 0;
d2Ndxi2dxi3 = 128*xi(2)^2 - 64*xi(2) + 16/3;
d2Ndxi3dxi3 = 0;
case 6
d2Ndxi1dxi1 = 0;
d2Ndxi2dxi1 = 0;
d2Ndxi3dxi1 = 128*xi(3)^2 - 64*xi(3) + 16/3;
d2Ndxi1dxi2 = 0;
d2Ndxi2dxi2 = 0;
d2Ndxi3dxi2 = 0;
d2Ndxi1dxi3 = 128*xi(3)^2 - 64*xi(3) + 16/3;
d2Ndxi2dxi3 = 0;
d2Ndxi3dxi3 = 64*xi(1)*(4*xi(3) - 1);
case 7
d2Ndxi1dxi1 = 32*xi(2)*(4*xi(2) - 1);
d2Ndxi2dxi1 = 4*(8*xi(1) - 1)*(8*xi(2) - 1);
d2Ndxi3dxi1 = 0;
d2Ndxi1dxi2 = 4*(8*xi(1) - 1)*(8*xi(2) - 1);
d2Ndxi2dxi2 = 32*xi(1)*(4*xi(1) - 1);
d2Ndxi3dxi2 = 0;
d2Ndxi1dxi3 = 0;
d2Ndxi2dxi3 = 0;
d2Ndxi3dxi3 = 0;
case 8
d2Ndxi1dxi1 = 0;
d2Ndxi2dxi1 = 0;
d2Ndxi3dxi1 = 0;
d2Ndxi1dxi2 = 0;
d2Ndxi2dxi2 = 32*xi(3)*(4*xi(3) - 1);
d2Ndxi3dxi2 = 4*(8*xi(2) - 1)*(8*xi(3) - 1);
d2Ndxi1dxi3 = 0;
d2Ndxi2dxi3 = 4*(8*xi(2) - 1)*(8*xi(3) - 1);
d2Ndxi3dxi3 = 32*xi(2)*(4*xi(2) - 1);
case 9
d2Ndxi1dxi1 = 32*xi(3)*(4*xi(3) - 1);
d2Ndxi2dxi1 = 0;
d2Ndxi3dxi1 = 4*(8*xi(1) - 1)*(8*xi(3) - 1);
d2Ndxi1dxi2 = 0;
d2Ndxi2dxi2 = 0;
d2Ndxi3dxi2 = 0;
d2Ndxi1dxi3 = 4*(8*xi(1) - 1)*(8*xi(3) - 1);
d2Ndxi2dxi3 = 0;
d2Ndxi3dxi3 = 32*xi(1)*(4*xi(1) - 1);
case 10
d2Ndxi1dxi1 = 0;
d2Ndxi2dxi1 = 128*xi(2)^2 - 64*xi(2) + 16/3;
d2Ndxi3dxi1 = 0;
d2Ndxi1dxi2 = 128*xi(2)^2 - 64*xi(2) + 16/3;
d2Ndxi2dxi2 = 64*xi(1)*(4*xi(2) - 1);
d2Ndxi3dxi2 = 0;
d2Ndxi1dxi3 = 0;
d2Ndxi2dxi3 = 0;
d2Ndxi3dxi3 = 0;
case 11
d2Ndxi1dxi1 = 0;
d2Ndxi2dxi1 = 0;
d2Ndxi3dxi1 = 0;
d2Ndxi1dxi2 = 0;
d2Ndxi2dxi2 = 0;
d2Ndxi3dxi2 = 128*xi(3)^2 - 64*xi(3) + 16/3;
d2Ndxi1dxi3 = 0;
d2Ndxi2dxi3 = 128*xi(3)^2 - 64*xi(3) + 16/3;
d2Ndxi3dxi3 = 64*xi(2)*(4*xi(3) - 1);
case 12
d2Ndxi1dxi1 = 64*xi(3)*(4*xi(1) - 1);
d2Ndxi2dxi1 = 0;
d2Ndxi3dxi1 = 128*xi(1)^2 - 64*xi(1) + 16/3;
d2Ndxi1dxi2 = 0;
d2Ndxi2dxi2 = 0;
d2Ndxi3dxi2 = 0;
d2Ndxi1dxi3 = 128*xi(1)^2 - 64*xi(1) + 16/3;
d2Ndxi2dxi3 = 0;
d2Ndxi3dxi3 = 0;
case 13
d2Ndxi1dxi1 = 256*xi(2)*xi(3);
d2Ndxi2dxi1 = 32*xi(3)*(8*xi(1) - 1);
d2Ndxi3dxi1 = 32*xi(2)*(8*xi(1) - 1);
d2Ndxi1dxi2 = 32*xi(3)*(8*xi(1) - 1);
d2Ndxi2dxi2 = 0;
d2Ndxi3dxi2 = 32*xi(1)*(4*xi(1) - 1);
d2Ndxi1dxi3 = 32*xi(2)*(8*xi(1) - 1);
d2Ndxi2dxi3 = 32*xi(1)*(4*xi(1) - 1);
d2Ndxi3dxi3 = 0;
case 14
d2Ndxi1dxi1 = 0;
d2Ndxi2dxi1 = 32*xi(3)*(8*xi(2) - 1);
d2Ndxi3dxi1 = 32*xi(2)*(4*xi(2) - 1);
d2Ndxi1dxi2 = 32*xi(3)*(8*xi(2) - 1);
d2Ndxi2dxi2 = 256*xi(1)*xi(3);
d2Ndxi3dxi2 = 32*xi(1)*(8*xi(2) - 1);
d2Ndxi1dxi3 = 32*xi(2)*(4*xi(2) - 1);
d2Ndxi2dxi3 = 32*xi(1)*(8*xi(2) - 1);
d2Ndxi3dxi3 = 0;
case 15
d2Ndxi1dxi1 = 0;
d2Ndxi2dxi1 = 32*xi(3)*(4*xi(3) - 1);
d2Ndxi3dxi1 = 32*xi(2)*(8*xi(3) - 1);
d2Ndxi1dxi2 = 32*xi(3)*(4*xi(3) - 1);
d2Ndxi2dxi2 = 0;
d2Ndxi3dxi2 = 32*xi(1)*(8*xi(3) - 1);
d2Ndxi1dxi3 = 32*xi(2)*(8*xi(3) - 1);
d2Ndxi2dxi3 = 32*xi(1)*(8*xi(3) - 1);
d2Ndxi3dxi3 = 256*xi(1)*xi(2);
end
if( i_eval==22 )
vBase = aInvJac(:,1).*( aInvJac(:,1).*d2Ndxi1dxi1 + aInvJac(:,2).*d2Ndxi2dxi1 + aInvJac(:,3).*d2Ndxi3dxi1 ) + ...
aInvJac(:,2).*( aInvJac(:,1).*d2Ndxi1dxi2 + aInvJac(:,2).*d2Ndxi2dxi2 + aInvJac(:,3).*d2Ndxi3dxi2 ) + ...
aInvJac(:,3).*( aInvJac(:,1).*d2Ndxi1dxi3 + aInvJac(:,2).*d2Ndxi2dxi3 + aInvJac(:,3).*d2Ndxi3dxi3 );
elseif( i_eval==33 )
vBase = aInvJac(:,4).*( aInvJac(:,4).*d2Ndxi1dxi1 + aInvJac(:,5).*d2Ndxi2dxi1 + aInvJac(:,6).*d2Ndxi3dxi1 ) + ...
aInvJac(:,5).*( aInvJac(:,4).*d2Ndxi1dxi2 + aInvJac(:,5).*d2Ndxi2dxi2 + aInvJac(:,6).*d2Ndxi3dxi2 ) + ...
aInvJac(:,6).*( aInvJac(:,4).*d2Ndxi1dxi3 + aInvJac(:,5).*d2Ndxi2dxi3 + aInvJac(:,6).*d2Ndxi3dxi3 );
else
vBase = aInvJac(:,4).*( aInvJac(:,1).*d2Ndxi1dxi1 + aInvJac(:,2).*d2Ndxi2dxi1 + aInvJac(:,3).*d2Ndxi3dxi1 ) + ...
aInvJac(:,5).*( aInvJac(:,1).*d2Ndxi1dxi2 + aInvJac(:,2).*d2Ndxi2dxi2 + aInvJac(:,3).*d2Ndxi3dxi2 ) + ...
aInvJac(:,6).*( aInvJac(:,1).*d2Ndxi1dxi3 + aInvJac(:,2).*d2Ndxi2dxi3 + aInvJac(:,3).*d2Ndxi3dxi3 );
end
otherwise
vBase = 0;
end